مقدمه‌ای بر هندسه فضاهای باناخ و کاربردهای آن در نظریه بهترین تقریب

نظریه تقریب یکی از شاخه‌های جذاب و پرمخاطب آنالیز تابعی غیر خطی محسوب می‌شود که تاریخچه آن به بحث کوتاه‌ترین فاصله یک نقطه تا یک مجموعه و سپس یافتن نقطه‌ای از آن مجموعه که این فاصله را اختیار می‌کند، بر می‌گردد. این مهم به مسأله بهترین تقریب معروف است. بعنوان مثال هر نقطه در یک فضای هیلبرت (کوتاه‌ترین) فاصله خود از یک مجموعه بسته و محدب را دقیقاً در یک نقطه از آن مجموعه اختیار نموده که آن را تصویر نقطه مورد نظر بر آن مجموعه می‌نامند. از آنجا که فضاهای هیلبرت مجهز به یک ضرب داخلی هستند که نرم آن‌ها با آن ضرب داخلی القا می‌شود، بعنوان زیررده محدودی از فضاهای باناخ محسوب می‌شوند. از این رو، ریاضی‌دانان بر آن شدند که با الهام گرفتن از خواص هندسی مطلوب و متعدد فضاهای هیلبرت به ارائه گونه‌های دیگری از فضاهای باناخ که لزوماً فضاهای ضرب داخلی نیستند بپردازند. این امر منجر به پدیدار شدن نظریه هندسه فضاهای با ناخ گردید. در گام‌های نخست این نظریه بحث گردی کره یکه در فضاهای با ناخ مورد توجه قرار گرفت. بعنوان مثال فضاهای باناخی که کره یکه در آن‌ها فاقد پاره خط واصل بین هر دو نقطه متمایز از کره باشد، تحت عنوان فضاهای با ناخ اکیداً محدب معرفی گردید. سپس تلاش‌های گسترده‌ای برای شناسایی فضاهایی که دارای این خاصیت هندسی هستند و همچنین ارائه مشخصه‌هایی برای درک هرچه بهتر این فضاها صورت پذیرفت...